Дроби древнего мира
Дроби в Древнем Египте
Как известно, дроби появились еще в глубокой древности. Человек встретился с необходимостью ввести дроби при разделе добычи, измерении величин и нахождении их. Так, например, в Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.
Первые дроби, с которыми нас познакомила история, так называемые единичные или аликвотные (от лат. aliquot –«несколько»). Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах (Математический папирус Ринда считался одним из первых известных упоминаниях о египетских дробях) и клинописных вавилонских табличках.
Аликвотные дроби (известные также как египетские) - в математике сумма нескольких различных дробей вида 1/n. Также будет верно сказать, что в каждой такой дроби имеется числитель, который равен единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Примеры представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Например: 1/2 + 1/7 + 1/12 … 1/n.
Аликвотные дроби (известные также как египетские) - в математике сумма нескольких различных дробей вида 1/n. Также будет верно сказать, что в каждой такой дроби имеется числитель, который равен единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Примеры представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Например: 1/2 + 1/7 + 1/12 … 1/n.
Важно, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде аликвотной дроби (бесконечным числом способов). Аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. С древних времен эта тема считалась одной из самых сложных поэтому, когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Подробным изучением аликвотных дробей занялся Леонардо Фибоначчи - первый крупный математик средневековой Европы в XIII веке. Он описал общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие, используя сложную запись дробей, состоящую из чисел со смешанным основанием.
Интересно, что один из священных символов египтян – так называемое «око Хора» – также имеет математический смысл. Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью. Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона. Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму – 63/64. Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.
Шестидесятеричная система счисления
Древний Вавилон
Шестидесятеричная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Изобретена шумерами в III тысячелетии до н. э., использовалась в древние времена на Ближнем Востоке. Активно использовалась в Вавилоне и Финикии, где она также совершенствовалась. Широкое применение вплоть до нового времени шестидесятеричные дроби нашли в Европе, пока их не вытеснили десятичные.
Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке, 12 - число фаланг пальцев). По другой — с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке, 12 - число фаланг пальцев). По другой — с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
Французский историк Жорж Ифра в своей работе «Всеобщая история чисел» (1985) высказал другую гипотезу: шестидесятеричная система есть результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной.
Наиболее вероятной гипотезой я считаю смешение пятеричной и двенадцатеричной систем, т.к. 60 можно разложить как на 5, так и на 12. Тем более, что археологические находки подтверждают данную версию. Гипотеза о счёте на пальцах более близка к десятичной. Также некоторые историки считают, что шестидесятеричная система существовала ещё до аккадского завоевания, что почти опровергает данную гипотезу.
Наиболее вероятной гипотезой я считаю смешение пятеричной и двенадцатеричной систем, т.к. 60 можно разложить как на 5, так и на 12. Тем более, что археологические находки подтверждают данную версию. Гипотеза о счёте на пальцах более близка к десятичной. Также некоторые историки считают, что шестидесятеричная система существовала ещё до аккадского завоевания, что почти опровергает данную гипотезу.
Клинописные таблицы без словесных пояснений служили в Вавилоне для записи чисел. Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: стоячий клин для обозначения единиц и лежачий клин для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда. То есть вавилонские числа записывались так же, как арабские. Система была позиционной, то есть «вес» цифры зависел от её позиции (положения) в числе. Система использовалась для записи как целых, так и дробных чисел
Но такая система была довольно неудобной и громоздкой (например, таблица умножения насчитывала 1770 строк), так что использовавшим эту систему финикийским и вавилонским математикам пришлось разработать специальную технику записи цифр — число изображалось в шестидесятеричной системе, а его шестидесятеричные цифры — в десятичной.
Но такая система была довольно неудобной и громоздкой (например, таблица умножения насчитывала 1770 строк), так что использовавшим эту систему финикийским и вавилонским математикам пришлось разработать специальную технику записи цифр — число изображалось в шестидесятеричной системе, а его шестидесятеричные цифры — в десятичной.
Дроби в Древнем Риме
Происхождение римской системы дробей связано с мерой веса-ассом. В этой системе пользовались двенадцатеричными дробями (имеющими знаменатель 12), одну двенадцатую часть называли унцией. Кроме того, для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые 18 названий.
"семис" - 1/2 асса
"секстане" - 1/6 асса
"семиунция" - 1/24 асса
"скрупулис" - 1/288 асса и т.д.
Отсюда и произошло слово "скрупулёзно", так как получили оно своё название из-за схожести с особым названием дроби 1/288 асса "скрупулус". Выполнить работу скрупулёзно означает выполнить работу, не упустив ни одной маленькой детали, ни одного скрупулуса.Однако, в такой системе был большой недостаток - с еë помощью невозможно представить число со знаменателем 10, 100 и т.д, что требовалось для высчитывания долгов. По этой причине римляне прибегли к использованию процентов. Сумма, которую должник дополнительно должен выплатить от общего долга называли лихвой. Даже сейчас иногда говорят "с лихвой", имея ввиду избыток чего-либо. Процент носит такое имя по той причине, что "на сто" по-латыни звучало как "про центум".
Остатки такой системы можно заметить в Великобритании. По примеру мер длины: 1 фут=12 дюймов, 1 ярд=36 дюймов. А также эти страны имеют такую меру веса как унция (28,3 г). В денежной же системе тоже можно заметить похожую закономерность: 1 фунт=12 шиллингов, 1 фунт=240 пенсов.
Остатки такой системы можно заметить в Великобритании. По примеру мер длины: 1 фут=12 дюймов, 1 ярд=36 дюймов. А также эти страны имеют такую меру веса как унция (28,3 г). В денежной же системе тоже можно заметить похожую закономерность: 1 фунт=12 шиллингов, 1 фунт=240 пенсов.
Наше мнение
Наиболее развитой из всех этих систем мы считаем египетскую. Эта система позволяет работать с любыми положительными рациональными числами, ведь любое такое число может быть разложено в виде суммы аликвотных дробей. Отрицательные числа тогда ещё в принципе не были известны людям, поэтому их отсутствие не является недостатком данной системы.
В других же системах тоже были свои плюсы: например, шестидесятеричной системой люди пользуются до сих пор для измерения углов, времени, координат, т.к. эта система идеально подходит для данных целей. Но у шестидесятеричной системы есть и свои недостатки: громоздкость, отсутствие знака нуля (на первых порах).
Главный же недостаток двенадцатеричной(римской) системы дробей - невозможность представить в ней дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д.
Но однако несмотря на ограниченность римской и вавилонской систем, ими пользуются до сих пор (что нельзя сказать о египетских дробях).
Хотя через некоторое время недостатки всех этих систем были устранены, у египетской системы их изначально было меньше. Поэтому наш выбор пал именно на неё.
В других же системах тоже были свои плюсы: например, шестидесятеричной системой люди пользуются до сих пор для измерения углов, времени, координат, т.к. эта система идеально подходит для данных целей. Но у шестидесятеричной системы есть и свои недостатки: громоздкость, отсутствие знака нуля (на первых порах).
Главный же недостаток двенадцатеричной(римской) системы дробей - невозможность представить в ней дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д.
Но однако несмотря на ограниченность римской и вавилонской систем, ими пользуются до сих пор (что нельзя сказать о египетских дробях).
Хотя через некоторое время недостатки всех этих систем были устранены, у египетской системы их изначально было меньше. Поэтому наш выбор пал именно на неё.
Алгоритм
Для разложения обыкновенной дроби, числитель которой не равен 1, на аликвотные дроби необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель полученной дроби минимально превышал знаменатель исходной дроби (т. е. полученный числитель должен быть минимально больше 16). Для этого числитель и знаменатель умножим на 6.
В полученной дроби 18>16, поэтому можем записать числитель в виде суммы 16+2. Получим сумму дробей: 16/96 + 2/96 = 1/6 + 1/48
Теперь представим первое слагаемое в виде аликвотных дробей. Для этого можно воспользоваться формулой:
1/a = (a+1)/a(a+1) = 1/(a+1) + 1/a(a+1)
В полученной дроби 18>16, поэтому можем записать числитель в виде суммы 16+2. Получим сумму дробей: 16/96 + 2/96 = 1/6 + 1/48
Теперь представим первое слагаемое в виде аликвотных дробей. Для этого можно воспользоваться формулой:
1/a = (a+1)/a(a+1) = 1/(a+1) + 1/a(a+1)
Алгоритм
Если знаменателем дроби является составное число, то числитель и знаменатель исходной дроби умножаем на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя.
Затем полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числитель - слагаемые вышеупомянутой суммы.
Если знаменатель простое число, то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу.
Затем полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числитель - слагаемые вышеупомянутой суммы.
Если знаменатель простое число, то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу.
Источники:
- https://multiurok.ru/index.php/files/iz-istorii-obyknovennykh-drobei-drobi-v-drevnem-ri.html
- https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436051/Egipetskie_drobi
- https://infourok.ru/user/3892154/blog/zarozhdenie-shestidesyaterichnoy-sistemi-schisleniya-127340.html
- https://tvoyapecarnya.ru/informaics/sistemy-ischisleniya/pozitsionnyesistemyschisleniya/vavilonskaya-sistema-schisleniya-printsip-postroeniya-i-primery
