Цепные дроби
Факты из жизни и научной деятельности
Перечень научных работ Христиана Гюйгенса
1651 г.Отечественные ученые, чьи имена связаны с изучением цепных дробей
{Fn} = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …},
в которойF0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn–1 (n ≥ 1).
Так, на сосновой шишке есть 3 спирали, закручивающиеся в одну сторону, и 5 — в другую. На еловой — 5 и 8 спиралей соответственно, на кедровой — 8 и 13. Отношения соседних чисел Фибоначчи раскладываются в очень простые цепные дроби, например,5/3 = [1; 1, 1, 1],
8/5 = [1; 1, 1, 1, 1].
(1 + √5)/2 = 1+1/((1+...+1/(1+...))= [1].
log2 (2f/f) = 1.
Почему же возникло деление октавы именно на 12 интервалов? Чтобы октава и натуральная квинта по возможности более точно укладывались в одну и ту же равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху интервалы), октаву нужно поделить на столько частей, чтобы число log2 (3/2) хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем. Подходящими дробями к числу
log2 (3/2) = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, …]
будут дроби
1/1, 1/2 , 3/5, 7/12, …
Приближения 1 и 1/2 слишком грубые. Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существовавшей у народов Востока, а приближение 7/12 — самое удачное. Погрешность
log2 |3/2 – 7/12| < 1,7 · 10–3
на слух неразличима.